General contraction iterative linearization Galerkin methods
BORIS DOI
Abstract
Fixed-point iteration methods are crucial tools for the solutions of nonlinear equations. In many cases, such schemes can be considered as iterative linearization methods, which can be obtained by applying a suitable preconditioning operator to the original equation. In this work, we propose a general contraction iterative linearization Galerkin method for nonlinear equations (in Hilbert spaces) based on the Boyd-Wong–Picard iterative linearizations. We derive a general convergence analysis based on the Boyd-Wong fixed-point principle under a local (on a closed and convex subset) linearization assumption. This non-standard perspective will allow us to conduct a general abstract a priori convergence analysis in combination with the classical Galerkin discretization method. Moreover, the general contraction iterative linearization Galerkin (ILG) approach will be applied to the specific context of finite element discretizations of semilinear diffusion reaction equations, and some numerical experiments will be performed to validate the a priori convergence result by controlling only the linearization error. Furthermore, on an abstract level, we derive general a posteriori residual and error estimates that separately account for the discretization and linearization errors. We consider an adaptive ILG algorithm, cf. [12,25], which efficiently combines those two error sources. Some numerical experiments will be performed employing the adaptive ILG algorithm to validate the a posteriori estimates. In addition, exploiting the compactness arguments, we extend our general Boyd-Wong convergence analysis to the case of weakly contractive fixed-point iterations. In turn, the equivalence of these approaches on compact spaces allows us to tackle the problems featuring weakly contractive fixed-point operators.
Fixpunkt-Iterationsverfahren sind wichtige Werkzeuge für die Lösung nichtlinearer Gleichungen. In vielen Fällen können solche Verfahren als iterative Linearisierungsmethoden betrachtet werden, die durch Anwendung eines geeigneten Vorkonditionierungsoperators auf die ursprüngliche Gleichung erhalten werden können. In dieser Arbeit schlagen wir iterative linearisierende Galerkin (ILG) Methoden mit allgemeinen Kontraktionen für nichtlineare Gleichungen (in Hilbert-Räumen) vor, die auf den iterativen Boyd-Wong-Picard-Linearisierungen basiert. Wir leiten eine allgemeine Konvergenzanalyse auf der Grundlage des Boyd-Wong-Fixpunktprinzips unter einer lokalen (auf einer abgeschlossenen und konvexen Teilmenge) Linearisierungsannahme ab. Diese Nicht-Standard-Perspektive wird es uns ermöglichen, eine allgemeine abstrakte a-priori-Konvergenzanalyse in Kombination mit der klassischen Galerkin-Diskretisierungsmethode durchzuführen. Ausserdem werden ILG Methoden mit allgemeinen Kontraktionen auf den spezifischen Kontext der Diskretisierung semilinearer Reaktions-Diffusionsgleichungen mit finiten Elementen angewandt und es werden einige numerische Experimente durchgeführt, um das a-priori-Konvergenzergebnis zu validieren, indem nur der Linearisierungsfehler kontrolliert wird. Darüber hinaus leiten wir auf einer abstrakten Ebene allgemeine a-posteriori-Residual- und Fehlerschätzungen ab, die Diskretisierungs- und Linearisierungsfehler separat berücksichtigen. Wir betrachten einen adaptiven ILG-Algorithmus, vgl. [12, 25], der diese beiden Fehlerquellen effizient kombiniert. Einige numerische Experimente werden unter Verwendung des adaptiven ILG-Algorithmus durchgeführt, um die a-posteriori-Schätzungen zu validieren. Zudem erweitern wir unter Ausnutzung von Kompaktheitsargumenten unsere allgemeine Boyd-Wong-Konvergenzanalyse auf den Fall von schwach kontraktiven Fixpunktiterationen. Die Äquivalenz dieser Ansätze auf kompakten Räumen ermöglicht es uns wiederum, Probleme mit schwach kontraktiven Fixpunktoperatoren zu lösen.
Date of Publication
2024
Year of graduation
2024
Theses Type
dissertation
Subject(s)
Language(s)
en
Author(s)
Ibragimov, Zarif |
Faculty/Graduate School
Institute
Access(Rights)
open.access
Primary OA Publication
true